我们是否知道初等数论

为什么学初等数论

本课程的目的要求

如何学习初等数论

 

我们是否知道初等数论

我们都遇到过的一些问题：

1. 一幼儿园的甲班有7人，乙班有10人。现有100块糖分给他们。问甲、乙两班要各分多少，才能使甲班每人分到的糖块一样多，元班每人分到的糖块也一样多。

2. 百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三值钱一。百钱买百鸡。问鸡翁母雏各几何。

3. 对任意整数n，n(n＋1)(n＋2)一定被6整除。

4. 数字游戏：每个字母表0—9中的一个数字，下式是两个十进位制的4位数相加的算式。确定这些字母代表的数。

SEND

＋ MORE

MONEY

5. 求具有如下性质的最小自然数：用十进制表示时，它的个位数字是6。将这个数字移到最高位数字之前，其它各位数字保持不动，则所得的数是原数的四倍。

6. 分数化为最简分数，多个分数相加减，多个分数相乘，以及分数化小数：既约分数a/b是十进位纯循环小数的充要条件是b和10仅有公约数±1。

7. 以原点为圆心半径为R的圆上有多少个横纵坐标均为整数的点？

8. 能找出边长为整数的所有直角三角形吗？

9. 物不知数问题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，三三数之剩二，问物几何？

10. ××××年××月××日是星期几？阴阳历的互换。

 

在解决以上问题，以及大家在作整数的运算和推导时，一定用到许多熟知的整数概念和性质，但这些整数的概念和性质不见得会严格表述和证明，例如：

 

(A) 素数属性及算术基本定理

命题1 算术基本引理 设p是素数。

(i) p｜a₁a₂ <━> p｜a₁，p｜a₂至少有一个成立；

(ii) p｜a₁…a_k <━> p｜a₁，…p｜a_k至少有一个成立。(定理1.5.1)

命题2 算术基本定理 设n≥2。n一定可表为素数的乘积，且其表达式n＝p₁p₂…p_k是唯一的，这里p₁≤p₂≤…≤p_k是素数。(定理1.5.2)

命题3 除数的表示 设n的标准素因数分解式为n＝p₁^a(1) …p_k^a(k)，d是正整数。那么，

d｜n <━> d＝p₁^e(1) …p_k^e(k)，0≤e(j)≤a(j)，1≤j≤k。(推论1.5.3)

命题4 最大公约数与最小公倍数的积性表示 设有素因数分解式

a₁=p₁^α(1,1)…p_s^α(1,s)，…，a_k=p₁^α(k,1)…p_s^α(k,s)。

那么，    (a₁，…，a_k)=p₁^δ(1)…p_s^δ(s)，δ(j)=min{α(1, j)，…，α(k, j)}，1≤j≤s。

          [a₁，…，a_k]=p₁^γ(1)…p_s^γ(s)，γ(j)=max{α(1, j)，…，α(k, j)}，1≤j≤s。(推论1.5.4)：

(B) 最大公约数理论

(B.1)最大公约数的积性性质

命题5(定理1.4.1) 公倍数是最小公倍数的倍数

(i) a₁|l，a₂|l<━>[a₁，a₂]|l；(ii) a₁|l，…，a_k|l<━>[a₁，…，a_k]|l。定理1.4.1)

命题6 若干个数的最小公倍数可以两个两个地去求

(i) [a₁，a₂，a₃，…，a_k]＝[[a₁，a₂]，a₃，…，a_k]；

(ii) [a₁，…，a_k，b₁，…，b_l]＝[[a₁，…，a_k]，b₁，…，b_l]。(习题1.4(I).9)

命题7 公约数是最大公约数的约数

(i) d｜a₁，d｜a₂ <━> d｜(a₁，a₂)；

(ii) d｜a₁，…，d｜a_k <━> d｜(a₁，…，a_k)。(定理1.4.2)

命题8 若干个数的最大公约数可以两个两个地去求

  (i) (a₁，a₂，a₃，…，a_k)＝((a₁，a₂)，a₃，…，a_k)；

(ii) (a₁，…，a_k，b₁，…，b_l)＝((a₁，…，a_k)，b₁，…，b_l)。(定理1.4.4)

命题9 求若干个数的最大公约数时它们的公约数可以先提出 设m＞0。那么，

(i) (ma₁，ma₂)＝m(a₁，a₂)；(ii) (ma₁，…，ma_k)=m(a₁，…，a_k)。(定理1.4.3)

命题10(定理1.4.5，1.4.6) 设(m，a)＝1。那么，

(i) (m，ab)＝(m，b)；(ii) 若m｜ab，则m｜b；

(iii) 若a｜c